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유한 수학 예제
[910320-2124]⎡⎢
⎢⎣910320−2124⎤⎥
⎥⎦
단계 1
특성방정식 p(λ) 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.
p(λ)=행렬식(A-λI3)
단계 2
크기가 3인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 3×3 정방행렬입니다.
[100010001]
단계 3
단계 3.1
A에 [910320-2124]를 대입합니다.
p(λ)=행렬식([910320-2124]-λI3)
단계 3.2
I3에 [100010001]를 대입합니다.
p(λ)=행렬식([910320-2124]-λ[100010001])
p(λ)=행렬식([910320-2124]-λ[100010001])
단계 4
단계 4.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 4.1.1
행렬의 각 원소에 -λ을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
단계 4.1.2
행렬의 각 원소를 간단히 합니다.
단계 4.1.2.1
-1에 1을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
단계 4.1.2.2
-λ⋅0 을 곱합니다.
단계 4.1.2.2.1
0에 -1을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
단계 4.1.2.2.2
0에 λ을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
단계 4.1.2.3
-λ⋅0 을 곱합니다.
단계 4.1.2.3.1
0에 -1을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
단계 4.1.2.3.2
0에 λ을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
단계 4.1.2.4
-λ⋅0 을 곱합니다.
단계 4.1.2.4.1
0에 -1을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
단계 4.1.2.4.2
0에 λ을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
단계 4.1.2.5
-1에 1을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
단계 4.1.2.6
-λ⋅0 을 곱합니다.
단계 4.1.2.6.1
0에 -1을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
단계 4.1.2.6.2
0에 λ을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
단계 4.1.2.7
-λ⋅0 을 곱합니다.
단계 4.1.2.7.1
0에 -1을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])
단계 4.1.2.7.2
0에 λ을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
단계 4.1.2.8
-λ⋅0 을 곱합니다.
단계 4.1.2.8.1
0에 -1을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])
단계 4.1.2.8.2
0에 λ을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
단계 4.1.2.9
-1에 1을 곱합니다.
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=행렬식([910320-2124]+[-λ000-λ000-λ])
단계 4.2
해당하는 원소를 더합니다.
p(λ)=행렬식[9-λ1+00+032+00-λ-2+01+02+04-λ]
단계 4.3
Simplify each element.
단계 4.3.1
1를 0에 더합니다.
p(λ)=행렬식[9-λ10+032+00-λ-2+01+02+04-λ]
단계 4.3.2
0를 0에 더합니다.
p(λ)=행렬식[9-λ1032+00-λ-2+01+02+04-λ]
단계 4.3.3
32를 0에 더합니다.
p(λ)=행렬식[9-λ10320-λ-2+01+02+04-λ]
단계 4.3.4
0에서 λ을 뺍니다.
p(λ)=행렬식[9-λ1032-λ-2+01+02+04-λ]
단계 4.3.5
-2를 0에 더합니다.
p(λ)=행렬식[9-λ1032-λ-21+02+04-λ]
단계 4.3.6
1를 0에 더합니다.
p(λ)=행렬식[9-λ1032-λ-212+04-λ]
단계 4.3.7
2를 0에 더합니다.
p(λ)=행렬식[9-λ1032-λ-2124-λ]
p(λ)=행렬식[9-λ1032-λ-2124-λ]
p(λ)=행렬식[9-λ1032-λ-2124-λ]
단계 5
단계 5.1
Choose the row or column with the most 0 elements. If there are no 0 elements choose any row or column. Multiply every element in row 1 by its cofactor and add.
단계 5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|
단계 5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a - position on the sign chart.
단계 5.1.3
The minor for a11 is the determinant with row 1 and column 1 deleted.
|-λ-224-λ|
단계 5.1.4
Multiply element a11 by its cofactor.
(9-λ)|-λ-224-λ|
단계 5.1.5
The minor for a12 is the determinant with row 1 and column 2 deleted.
|32-214-λ|
단계 5.1.6
Multiply element a12 by its cofactor.
-1|32-214-λ|
단계 5.1.7
The minor for a13 is the determinant with row 1 and column 3 deleted.
|32-λ12|
단계 5.1.8
Multiply element a13 by its cofactor.
0|32-λ12|
단계 5.1.9
Add the terms together.
p(λ)=(9-λ)|-λ-224-λ|-1|32-214-λ|+0|32-λ12|
p(λ)=(9-λ)|-λ-224-λ|-1|32-214-λ|+0|32-λ12|
단계 5.2
0에 |32-λ12|을 곱합니다.
p(λ)=(9-λ)|-λ-224-λ|-1|32-214-λ|+0
단계 5.3
|-λ-224-λ|의 값을 구합니다.
단계 5.3.1
2×2 행렬의 행렬식은 |abcd|=ad-cb 공식을 이용해 계산합니다.
p(λ)=(9-λ)(-λ(4-λ)-2⋅-2)-1|32-214-λ|+0
단계 5.3.2
행렬식을 간단히 합니다.
단계 5.3.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 5.3.2.1.1
분배 법칙을 적용합니다.
p(λ)=(9-λ)(-λ⋅4-λ(-λ)-2⋅-2)-1|32-214-λ|+0
단계 5.3.2.1.2
4에 -1을 곱합니다.
p(λ)=(9-λ)(-4λ-λ(-λ)-2⋅-2)-1|32-214-λ|+0
단계 5.3.2.1.3
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
p(λ)=(9-λ)(-4λ-1⋅-1λ⋅λ-2⋅-2)-1|32-214-λ|+0
단계 5.3.2.1.4
각 항을 간단히 합니다.
단계 5.3.2.1.4.1
지수를 더하여 λ에 λ을 곱합니다.
단계 5.3.2.1.4.1.1
λ를 옮깁니다.
p(λ)=(9-λ)(-4λ-1⋅-1(λ⋅λ)-2⋅-2)-1|32-214-λ|+0
단계 5.3.2.1.4.1.2
λ에 λ을 곱합니다.
p(λ)=(9-λ)(-4λ-1⋅-1λ2-2⋅-2)-1|32-214-λ|+0
p(λ)=(9-λ)(-4λ-1⋅-1λ2-2⋅-2)-1|32-214-λ|+0
단계 5.3.2.1.4.2
-1에 -1을 곱합니다.
p(λ)=(9-λ)(-4λ+1λ2-2⋅-2)-1|32-214-λ|+0
단계 5.3.2.1.4.3
λ2에 1을 곱합니다.
p(λ)=(9-λ)(-4λ+λ2-2⋅-2)-1|32-214-λ|+0
p(λ)=(9-λ)(-4λ+λ2-2⋅-2)-1|32-214-λ|+0
단계 5.3.2.1.5
-2에 -2을 곱합니다.
p(λ)=(9-λ)(-4λ+λ2+4)-1|32-214-λ|+0
p(λ)=(9-λ)(-4λ+λ2+4)-1|32-214-λ|+0
단계 5.3.2.2
-4λ와 λ2을 다시 정렬합니다.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ+4)-1|32-214-λ|+0
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ+4)-1|32-214-λ|+0
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ+4)-1|32-214-λ|+0
단계 5.4
|32-214-λ|의 값을 구합니다.
단계 5.4.1
2×2 행렬의 행렬식은 |abcd|=ad-cb 공식을 이용해 계산합니다.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ+4)-1(32(4-λ)-1⋅-2)+0
단계 5.4.2
행렬식을 간단히 합니다.
단계 5.4.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 5.4.2.1.1
분배 법칙을 적용합니다.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ+4)-1(32⋅4+32(-λ)-1⋅-2)+0
단계 5.4.2.1.2
2의 공약수로 약분합니다.
단계 5.4.2.1.2.1
4에서 2를 인수분해합니다.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ+4)-1(32⋅(2(2))+32(-λ)-1⋅-2)+0
단계 5.4.2.1.2.2
공약수로 약분합니다.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ+4)-1(32⋅(2⋅2)+32(-λ)-1⋅-2)+0
단계 5.4.2.1.2.3
수식을 다시 씁니다.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ+4)-1(3⋅2+32(-λ)-1⋅-2)+0
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ+4)-1(3⋅2+32(-λ)-1⋅-2)+0
단계 5.4.2.1.3
3에 2을 곱합니다.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ+4)-1(6+32(-λ)-1⋅-2)+0
단계 5.4.2.1.4
32와 λ을 묶습니다.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ+4)-1(6-3λ2-1⋅-2)+0
단계 5.4.2.1.5
-1에 -2을 곱합니다.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ+4)-1(6-3λ2+2)+0
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ+4)-1(6-3λ2+2)+0
단계 5.4.2.2
6를 2에 더합니다.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ+4)-1(-3λ2+8)+0
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ+4)-1(-3λ2+8)+0
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ+4)-1(-3λ2+8)+0
단계 5.5
행렬식을 간단히 합니다.
단계 5.5.1
(9-λ)(λ2-4λ+4)-1(-3λ2+8)를 0에 더합니다.
p(λ)=(9-λ)(λ2-4λ+4)-1(-3λ2+8)
단계 5.5.2
각 항을 간단히 합니다.
단계 5.5.2.1
첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 (9-λ)(λ2-4λ+4) 를 전개합니다.
p(λ)=9λ2+9(-4λ)+9⋅4-λ⋅λ2-λ(-4λ)-λ⋅4-1(-3λ2+8)
단계 5.5.2.2
각 항을 간단히 합니다.
단계 5.5.2.2.1
-4에 9을 곱합니다.
p(λ)=9λ2-36λ+9⋅4-λ⋅λ2-λ(-4λ)-λ⋅4-1(-3λ2+8)
단계 5.5.2.2.2
9에 4을 곱합니다.
p(λ)=9λ2-36λ+36-λ⋅λ2-λ(-4λ)-λ⋅4-1(-3λ2+8)
단계 5.5.2.2.3
지수를 더하여 λ에 λ2을 곱합니다.
단계 5.5.2.2.3.1
λ2를 옮깁니다.
p(λ)=9λ2-36λ+36-(λ2λ)-λ(-4λ)-λ⋅4-1(-3λ2+8)
단계 5.5.2.2.3.2
λ2에 λ을 곱합니다.
단계 5.5.2.2.3.2.1
λ를 1승 합니다.
p(λ)=9λ2-36λ+36-(λ2λ1)-λ(-4λ)-λ⋅4-1(-3λ2+8)
단계 5.5.2.2.3.2.2
지수 법칙 aman=am+n 을 이용하여 지수를 합칩니다.
p(λ)=9λ2-36λ+36-λ2+1-λ(-4λ)-λ⋅4-1(-3λ2+8)
p(λ)=9λ2-36λ+36-λ2+1-λ(-4λ)-λ⋅4-1(-3λ2+8)
단계 5.5.2.2.3.3
2를 1에 더합니다.
p(λ)=9λ2-36λ+36-λ3-λ(-4λ)-λ⋅4-1(-3λ2+8)
p(λ)=9λ2-36λ+36-λ3-λ(-4λ)-λ⋅4-1(-3λ2+8)
단계 5.5.2.2.4
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
p(λ)=9λ2-36λ+36-λ3-1⋅-4λ⋅λ-λ⋅4-1(-3λ2+8)
단계 5.5.2.2.5
지수를 더하여 λ에 λ을 곱합니다.
단계 5.5.2.2.5.1
λ를 옮깁니다.
p(λ)=9λ2-36λ+36-λ3-1⋅-4(λ⋅λ)-λ⋅4-1(-3λ2+8)
단계 5.5.2.2.5.2
λ에 λ을 곱합니다.
p(λ)=9λ2-36λ+36-λ3-1⋅-4λ2-λ⋅4-1(-3λ2+8)
p(λ)=9λ2-36λ+36-λ3-1⋅-4λ2-λ⋅4-1(-3λ2+8)
단계 5.5.2.2.6
-1에 -4을 곱합니다.
p(λ)=9λ2-36λ+36-λ3+4λ2-λ⋅4-1(-3λ2+8)
단계 5.5.2.2.7
4에 -1을 곱합니다.
p(λ)=9λ2-36λ+36-λ3+4λ2-4λ-1(-3λ2+8)
p(λ)=9λ2-36λ+36-λ3+4λ2-4λ-1(-3λ2+8)
단계 5.5.2.3
9λ2를 4λ2에 더합니다.
p(λ)=13λ2-36λ+36-λ3-4λ-1(-3λ2+8)
단계 5.5.2.4
-36λ에서 4λ을 뺍니다.
p(λ)=13λ2-40λ+36-λ3-1(-3λ2+8)
단계 5.5.2.5
분배 법칙을 적용합니다.
p(λ)=13λ2-40λ+36-λ3-1(-3λ2)-1⋅8
단계 5.5.2.6
-1(-3λ2) 을 곱합니다.
단계 5.5.2.6.1
-1에 -1을 곱합니다.
p(λ)=13λ2-40λ+36-λ3+13λ2-1⋅8
단계 5.5.2.6.2
3λ2에 1을 곱합니다.
p(λ)=13λ2-40λ+36-λ3+3λ2-1⋅8
p(λ)=13λ2-40λ+36-λ3+3λ2-1⋅8
단계 5.5.2.7
-1에 8을 곱합니다.
p(λ)=13λ2-40λ+36-λ3+3λ2-8
p(λ)=13λ2-40λ+36-λ3+3λ2-8
단계 5.5.3
공통 분모를 가지는 분수로 -40λ을 표현하기 위해 22을 곱합니다.
p(λ)=13λ2+36-λ3-40λ⋅22+3λ2-8
단계 5.5.4
-40λ와 22을 묶습니다.
p(λ)=13λ2+36-λ3+-40λ⋅22+3λ2-8
단계 5.5.5
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
p(λ)=13λ2+36-λ3+-40λ⋅2+3λ2-8
단계 5.5.6
각 항을 간단히 합니다.
단계 5.5.6.1
분자를 간단히 합니다.
단계 5.5.6.1.1
-40λ⋅2+3λ에서 λ를 인수분해합니다.
단계 5.5.6.1.1.1
-40λ⋅2에서 λ를 인수분해합니다.
p(λ)=13λ2+36-λ3+λ(-40⋅2)+3λ2-8
단계 5.5.6.1.1.2
3λ에서 λ를 인수분해합니다.
p(λ)=13λ2+36-λ3+λ(-40⋅2)+λ⋅32-8
단계 5.5.6.1.1.3
λ(-40⋅2)+λ⋅3에서 λ를 인수분해합니다.
p(λ)=13λ2+36-λ3+λ(-40⋅2+3)2-8
p(λ)=13λ2+36-λ3+λ(-40⋅2+3)2-8
단계 5.5.6.1.2
-40에 2을 곱합니다.
p(λ)=13λ2+36-λ3+λ(-80+3)2-8
단계 5.5.6.1.3
-80를 3에 더합니다.
p(λ)=13λ2+36-λ3+λ⋅-772-8
p(λ)=13λ2+36-λ3+λ⋅-772-8
단계 5.5.6.2
λ의 왼쪽으로 -77 이동하기
p(λ)=13λ2+36-λ3+-77⋅λ2-8
단계 5.5.6.3
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
p(λ)=13λ2+36-λ3-77λ2-8
p(λ)=13λ2+36-λ3-77λ2-8
단계 5.5.7
36에서 8을 뺍니다.
p(λ)=13λ2-λ3-77λ2+28
단계 5.5.8
13λ2와 -λ3을 다시 정렬합니다.
p(λ)=-λ3+13λ2-77λ2+28
p(λ)=-λ3+13λ2-77λ2+28
p(λ)=-λ3+13λ2-77λ2+28
단계 6
특성다항식이 0 이 되도록 하여 고유값 λ 를 구합니다.
-λ3+13λ2-77λ2+28=0
단계 7
단계 7.1
방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.
λ≈1.10363103,2.78431018,9.11205878
λ≈1.10363103,2.78431018,9.11205878